Reihenkonvergenz und -wert

Januar 2, 2021 |

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Kaum eine Vorlesung zur Analysis wird ohne den Begriff der Reihe auskommen und eine Aufgabe, in der eine gegebene Reihe auf (absolute) Konvergenz zu prüfen ist, dürfte in jeder Klausur zur Analysis I zu finden sein. Dies lässt sich in der Regel mit dafür geeigneten Konvergenzkriterien prüfen. Wenn nun allerdings nach dem Reihenwert gefragt ist, so werden diese Konvergenzkriterien oft falsch angewendet.

Ist $(a_k){k\in\mathds N}$ eine Folge komplexer oder reeller Zahlen, so definiert man eine neue Folge $(s_n){n\in\mathds N}$ mit $s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ . Abkürzend schreibt man dann $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ und nennt diesen Ausdruck die Reihe über die Folge $a_k$ . Ein Folgenglied $s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ heißt $n$ -te Partialsumme.

Anschaulich summiert man alle Folgenglieder der Folge $(a_k),~k\in\mathds N$ auf. Nimmt diese Summe einen endlichen Wert an, d.h. es gibt ein $S\in\mathds C$ mit $\lim\limits_{n\to\infty} s_n=S$ , so ist die Reihe konvergent und $S$ ist der zugehörige Reihenwert. In diesem Fall schreibt man auch:

$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k=S.$

Das Symbol $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ hat also eine doppelte Bedeutung; einerseits bezeichnet es die Reihe, andererseits den Grenzwert der Reihe, sofern dieser existiert. Welche Bedeutung gemeint ist, wird in der Regel aber aus dem Kontext klar.

Eine bekannte Reihe ist die geometrische Reihe $\sum\limits_{k=0}^\infty q^k$ . Für $|q|<1$ ist diese Reihe (absolut) konvergent, der zugehörige Reihenwert ist $S=\sum\limits_{k=0}^\infty q^k =\frac{1}{1-q}$ . Für $q=\frac 13$ erhält man etwa:

$\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac 13\right)^k=\frac{1}{1-\frac 13}=\frac {1}{\frac 23}=\frac 32.$

Den Wert einer Reihe zu bestimmen, kann sehr schwierig sein und lässt sich mit Ausnahme einiger feststehende Ausdrücke in der Regel nicht auf bloßes Einsetzen in eine Formel reduzieren. Ob eine Reihe konvergent ist, lässt sich aber (in abgestimmten Klausursituationen) in der Regel mit einigen einfachen Kriterien überprüfen. Neben dem Majoranten- und Minorantenkriterium, welche Grundwissen über einige konvergente bzw. divergente Reihen erfordern, sind vor allem das Quotienten- und Wurzelkriterium einfach anzuwenden. Wir greifen an dieser Stelle exemplarisch das Quotientenkriterium auf. In einer möglichen Form besagt dieses:

Ein Quotienkriterium zur Reihenkonvergenz

Ist $a_k\neq 0$ für alle $k\in\mathds N$ und existiert der Grenzwert $\lim\limits_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=R$ mit $R<1$ , so ist die Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ konvergent (sogar absolut konvergent). Ist hingegen $R>1$ , so ist die Reihe divergent. Im Fall $R=1$ ist keine Aussage möglich

In dieser Form lässt sich das Kriterium sehr leicht auf die nachfolgende Reihe anwenden, um die Konvergenz nachzuweisen:

$\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac 15\right)^k$ ist (absolut) konvergent. Mit $a_k=\left(\frac 15\right)^k$ bzw. $a_{k+1}=\left(\frac 15\right)^{k+1}$ ist $a_k\neq 0$ für alle $k\in\mathds N$ und es gilt:

$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\left(\frac 15\right)^{k+1}}{\left(\frac 15\right)^k}=\frac{1}{5}\stackrel{k\to\infty}{\rightarrow} \frac 15<1.$

Damit ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium (absolut) konvergent.

Ein häufiger Fehler der nun gemacht wird, ist den erhaltenen Grenzwert $\frac 15$ aus dem Quotientenkriterium auch als Reihenwert zu interpretieren. Diese Werte sind in der Regel nicht gleich. Da es sich hier ebenfalls um eine geometrische Reihe mit $|\frac 15|<1$ handelt, können wir den Reihenwert nämlich auch sehr einfach direkt berechnen:

$\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac 15\right)^k= \frac{1}{1-\frac 15}=\frac {1}{\frac 45}=\frac{5}{4}.$

Der Grenzwert aus der Anwendung des Quotientenkriteriums und der eigentliche Reihenwert weichen also stark voneinander ab.

Auch bei der Anwendung des Wurzelkriteriums lässt sich der berechnete Grenzwert $\lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}$ im Falle der Konvergenz nicht auf den Reihenwert übertragen. Diese Grenzwerte sagen höchstens etwas über Konvergenz/Divergenz der Reihe aus, der Reihenwert ist davon zunächst unabhängig.

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